15 | 二分查找(上):如何用最省内存的方式实现快速查找功能?
无处不在的二分思想
二分查找针对的是一个有序的数据集合,查找思想有点类似分治思想。每次都通过跟区间的中间元素对比,将待查找的区间缩小为之前的一半,直到找到要查找的元素,或者区间被缩小为 0。
二分查找的递归与非递归实现
最简单的情况就是有序数组中不存在重复元素,我们在其中用二分查找值等于给定值的数据。我用 Java 代码实现了一个最简单的二分查找算法。
1 | public int bsearch(int[] a, int n, int value) { |
这个代码我稍微解释一下,low、high、mid 都是指数组下标,其中 low 和 high 表示当前查找的区间范围,初始 low=0, high=n-1。mid 表示[low, high]的中间位置。我们通过对比 a[mid]与 value 的大小,来更新接下来要查找的区间范围,直到找到或者区间缩小为 0,就退出。如果你有一些编程基础,看懂这些应该不成问题。现在,我就着重强调一下容易出错的 3 个地方。
1.循环退出条件
注意是 low<=high,而不是 low<high。
2.mid 的取值
实际上,mid=(low+high)/2 这种写法是有问题的。因为如果 low 和 high 比较大的话,两者之和就有可能会溢出。改进的方法是将 mid 的计算方式写成 low+(high-low)/2。更进一步,如果要将性能优化到极致的话,我们可以将这里的除以 2 操作转化成位运算 low+((high-low)>>1)。因为相比除法运算来说,计算机处理位运算要快得多。
3.low 和 high 的更新
low=mid+1,high=mid-1。注意这里的 +1 和 -1,如果直接写成 low=mid 或者 high=mid,就可能会发生死循环。比如,当 high=3,low=3 时,如果 a[3]不等于 value,就会导致一直循环不退出。
如果你留意我刚讲的这三点,我想一个简单的二分查找你已经可以实现了。实际上,二分查找除了用循环来实现,还可以用递归来实现,过程也非常简单。
我用 Java 语言实现了一下这个过程,正好你可以借此机会回顾一下写递归代码的技巧。
1 | // 二分查找的递归实现 |
二分查找应用场景的局限性
前面我们分析过,二分查找的时间复杂度是 O(logn),查找数据的效率非常高。不过,并不是什么情况下都可以用二分查找,它的应用场景是有很大局限性的。那什么情况下适合用二分查找,什么情况下不适合呢?
首先,二分查找依赖的是顺序表结构,简单点说就是数组。
那二分查找能否依赖其他数据结构呢?比如链表。答案是不可以的,主要原因是二分查找算法需要按照下标随机访问元素。我们在数组和链表那两节讲过,数组按照下标随机访问数据的时间复杂度是 O(1),而链表随机访问的时间复杂度是 O(n)。所以,如果数据使用链表存储,二分查找的时间复杂就会变得很高。
二分查找只能用在数据是通过顺序表来存储的数据结构上。如果你的数据是通过其他数据结构存储的,则无法应用二分查找。
其次,二分查找针对的是有序数据。
二分查找对这一点的要求比较苛刻,数据必须是有序的。如果数据没有序,我们需要先排序。前面章节里我们讲到,排序的时间复杂度最低是 O(nlogn)。所以,如果我们针对的是一组静态的数据,没有频繁地插入、删除,我们可以进行一次排序,多次二分查找。这样排序的成本可被均摊,二分查找的边际成本就会比较低。
但是,如果我们的数据集合有频繁的插入和删除操作,要想用二分查找,要么每次插入、删除操作之后保证数据仍然有序,要么在每次二分查找之前都先进行排序。针对这种动态数据集合,无论哪种方法,维护有序的成本都是很高的。
所以,二分查找只能用在插入、删除操作不频繁,一次排序多次查找的场景中。针对动态变化的数据集合,二分查找将不再适用。那针对动态数据集合,如何在其中快速查找某个数据呢?别急,等到二叉树那一节我会详细讲。
再次,数据量太小不适合二分查找。
如果要处理的数据量很小,完全没有必要用二分查找,顺序遍历就足够了。比如我们在一个大小为 10 的数组中查找一个元素,不管用二分查找还是顺序遍历,查找速度都差不多。只有数据量比较大的时候,二分查找的优势才会比较明显。
不过,这里有一个例外。如果数据之间的比较操作非常耗时,不管数据量大小,我都推荐使用二分查找。比如,数组中存储的都是长度超过 300 的字符串,如此长的两个字符串之间比对大小,就会非常耗时。我们需要尽可能地减少比较次数,而比较次数的减少会大大提高性能,这个时候二分查找就比顺序遍历更有优势。
最后,数据量太大也不适合二分查找。
二分查找的底层需要依赖数组这种数据结构,而数组为了支持随机访问的特性,要求内存空间连续,对内存的要求比较苛刻。比如,我们有 1GB 大小的数据,如果希望用数组来存储,那就需要 1GB 的连续内存空间。
注意这里的“连续”二字,也就是说,即便有 2GB 的内存空间剩余,但是如果这剩余的 2GB 内存空间都是零散的,没有连续的 1GB 大小的内存空间,那照样无法申请一个 1GB 大小的数组。而我们的二分查找是作用在数组这种数据结构之上的,所以太大的数据用数组存储就比较吃力了,也就不能用二分查找了。
内容小结
今天我们学习了一种针对有序数据的高效查找算法,二分查找,它的时间复杂度是 O(logn)。
二分查找的核心思想理解起来非常简单,有点类似分治思想。即每次都通过跟区间中的中间元素对比,将待查找的区间缩小为一半,直到找到要查找的元素,或者区间被缩小为 0。但是二分查找的代码实现比较容易写错。你需要着重掌握它的三个容易出错的地方:循环退出条件、mid 的取值,low 和 high 的更新。
二分查找虽然性能比较优秀,但应用场景也比较有限。底层必须依赖数组,并且还要求数据是有序的。对于较小规模的数据查找,我们直接使用顺序遍历就可以了,二分查找的优势并不明显。二分查找更适合处理静态数据,也就是没有频繁的数据插入、删除操作。
课后思考
如何编程实现“求一个数的平方根”?要求精确到小数点后 6 位。
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33public class Sqrt {
public static void main(String[] args) {
Sqrt sqrt = new Sqrt();
double a = 1000;
double num = sqrt.sqrt(a, 0.000001);
System.out.println("算法结果:" + num);
System.out.println("实际结果:" + Math.sqrt(a));
}
public double sqrt(double a, double precision) {
double low, high, mid, tmp;
if (a > 1) {
low = 1;
high = a;
} else {
low = a;
high = 1;
}
while (low <= high) {
mid = (low + high) / 2.000;
tmp = mid * mid;
// 如果当前求得的平方根在target+0.000001和target-0.000001之间,那么返回mid
if (tmp < a + precision && tmp >= a - precision) {
return mid;
} else if (tmp > a) {
high = mid;
} else {
low = mid;
}
}
return -1.000;
}
}我刚才说了,如果数据使用链表存储,二分查找的时间复杂就会变得很高,那查找的时间复杂度究竟是多少呢?如果你自己推导一下,你就会深刻地认识到,为何我们会选择用数组而不是链表来实现二分查找了。
假设链表长度为n,二分查找每次都要找到中间点(计算中忽略奇偶数差异):
第一次查找中间点,需要移动指针n/2次;
第二次,需要移动指针n/4次;
第三次需要移动指针n/8次;
……
以此类推,一直到1次为值总共指针移动次数(查找次数) = n/2 + n/4 + n/8 + …+ 1,这显然是个等比数列,根据等比数列求和公式:Sum = n - 1.
最后算法时间复杂度是:O(n-1),忽略常数,记为O(n),时间复杂度和顺序查找时间复杂度相同
但是稍微思考下,在二分查找的时候,由于要进行多余的运算,严格来说,会比顺序查找时间慢